Question

如图，圆O的半径OA与OB互相垂直，P是线段OB延长线上的一动点，线段AP交圆O于点D，过D点作圆O的切线交OP于点E．
（1）观察图形，点P在移动过程中比较DE与EP的大小关系，并对你的结论加以证明；
（2）作DH⊥OP于点H，若HE=6，DE=，求圆O半径的长．

Answer 1

解：（1）DE=EP…
证明如下：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∵OA=OD
∴∠OAP=∠ODA
∴∠EDP=∠ADF=90°-∠ODA=90°-∠OAP
∵AO⊥OP
∴∠P=90°-∠OAP
∴∠P=∠EDP，
∴DE=EP；

（2）在Rt△DHE中，
∵HE=6，DE=，∠DHE=90°
∴cos∠HED=，
∴∠HED=30°
∴∠DOB=60°，
∵△ODE是直角三角形，DE=，
∴OD=4．
分析：（1）DE=EP，连接OD，根据切线的性质定理和圆的半径相等即可证明结论成立；
（2）由题意可知△DHE为直角三角形，利用锐角三角函数关系求出∠HED=30°，进而求出∠DOB=60°，问题得解．
点评：本题考查了圆的切线的性质定理，圆的半径组成的等腰三角形和等腰三角形的判定以及解直角三角形得有关知识，题目的难度中等．