Question

如图：已知抛物线（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点A，且点B在点C的左侧．
（1）若该抛物线过点M（2，2），求这个抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，请在第四象限内的该抛物线上找到一点P，使△POC的面积等于△ABC面积的，求出P点坐标；
（3）在（1）的条件下，请在抛物线的对称轴上找到一点H，使BH+AH最小，并求出H点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）将点M的坐标代入抛物线解析式可求出m的值，继而确定抛物线解析式；
（2）先求出点B、点C的坐标，然后求出△ABC的面积，根据△POC的面积等于△ABC面积的，求出点P的纵坐标，代入抛物线可求出横坐标．
（3）点C是点B关于对称轴的对称点，连接AC，则AC与对称轴的交点是点H的位置，求出其坐标即可．
解答：解：（1）把点M（2，2）代入二次函数的解析式得：，
解得：m=4．
故所求二次函数为：．

（2）易求得原抛物线与x轴的交点为B（-2，0），C（4，0），
则BC=6，，
设点P的坐标为（x，y），
由题意得，=，
整理得：x²-2x-24=0，
解得：x₁=-4，x₂=6，
∵P点在第四象限，
∴x=6，y=-4，
∴P（6，-4）．

（3）易求得原抛物线的对称轴为直线x=1，
连接AC，设AC所在的直线解析式为y=kx+b，
则有，
解得：，
故AC所在的直线解析式为：y=-x+2，
当x=1时，y=，
故点H的坐标为：（1，），
即当H点的坐标为：（1，）时，BH+AH最短．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、轴对称求最短路径及三角形的面积，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．