Question

【题目】如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；

（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；

（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9个 ；（3）或；（4）

【解析】

（1）抛物线与轴交于点，顶点的横坐标为，则，即可求解；

（2）的面积，即可求解；

（3）当四边形是正方形时，点只能在轴的下方，此时为等腰直角三角形，设点，则，即可求解；

（4）求出直线的表达式为：，则直线的表达式为：②，联立①②求出的坐标，又四边形是平行四边形，则的中点即为的中点，即可求解．

解：（1）抛物线与轴交于点，顶点的横坐标为，则，解得，

故抛物线的抛物线为：；

（2）对于，令，则或6，故点、的坐标分别为、；

如图，过点作轴交于点，

设直线的表达式为：

由点（6，0）、（0，4）的坐标得，解得，

∴直线的表达式为：①，

设点，则点，

的面积，

当时，，当时，，

故使的面积为整数的点的个数为9个；

（3）当四边形是正方形时，点只能在轴的下方，

此时为等腰直角三角形，设点，则，

即，解得：或4，

故点的坐标为，或；

（4）设点，为点，

设直线的表达式为：，

由点，的坐标可得，解之得：

∴直线的表达式为：，

，则和表达式中的值相同，

故直线的表达式为：②，

联立①②得：，解得：，

则点，，

四边形是平行四边形，则的中点即为的中点，

如图2，作轴于点C，轴于点D，

∴,

则有，，解得：，

经检验，是原分式方程得跟，

则，

故的横坐标的值为．