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    如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AB、BD、AC把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连结PA、PB构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线组成的角是0度角.）

    （1）当动点P落在第①部分时，试说明∠APB＝∠PAC＋∠PBD；

    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）

    （3）当动点P落在第③、④部分时，全面探究∠APB、∠PAC、∠PBD之间的数量关系，并画出相应的图形、写出相应的结论.请选择一种结论加以说明.

     

    【答案】

    （1） 作PQ∥AC，则 PQ∥AC ∥BD. ∴∠APQ﹦∠CAP ，∠BPQ﹦∠DPB

      ∴∠APB﹦∠APQ+ ∠BPQ﹦∠PAC+ ∠PBD.  …4分

    （也可延长AP或BP求证）

    （2）不成立. …6分 

    （3）点P落在第③部分时，

    ∠APB﹦∠PBD－∠PAC.  …9分

    点P落在第④部分时，

    ∠APB﹦∠PAC－ ∠PBD.  …10分

      选其中一个证明（正确给2分）…10分

    【解析】（1）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质将∠PAC，∠PBD等量转化，证出结论．

    （2）过点P作AC的平行线PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC与∠APQ是一对同旁内角，∠QPB与∠PBD也是一对同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，发现三个角的和是360度．

    （3）分点P在直线AB的左侧与右侧两种情况，分别过点P向右作PQ∥AC，根据平行公理可得PQ∥BD，然后根据两直线平行，同旁内角互补用∠PAC表示出∠APQ，用∠PBD表示出∠BPQ，然后结合图形整理即可得解．点P落在第④部分时，证法同上

     

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    28、利用平行线的性质探究：
    如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图＜1＞，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：
    （1）当动点P落在第②部分时，在图＜2＞中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；
    （2）当动点P落在第③部分时，在图＜3＞、图＜4＞中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．

    （1）当动点P落在第②部分时
    ∠APB=∠PAC+∠PBD
    ．
    （2）当动点P落在第③部分时（如图＜3＞）
    ∠PBD=∠APB+∠PAC
    ．
    当动点P落在第③部分时（如图＜4＞）
    ∠PAC=∠PBD+∠APB
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    27、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
    （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
    （3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

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    （2012•桂平市三模）如图，直线AC∥BD，⊙O与AC和BD分别相切于点A和点B．点M和点N分别是AC和BD上的动点，MN沿AC和BD平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角． （提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）
    （1）当动点P落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD，请说明理由；
    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？若不成立，试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系（无需说明理由）；
    （3）当动点P在第③部分时，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，写出你发现的一个结论并加以说明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
    （1）当动点P落在第①部分时，试说明∠APB=∠PAC+∠PBD；
    （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
    （3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以说明．

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