练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
    （1）求证：EG=CG；
    （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
    （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
    精英家教网
    分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
    （2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
    （3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．
    解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠DCF=90°，
    在Rt△FCD中，
    ∵G为DF的中点，
    ∴CG=
    1
    2
    FD，
    同理，在Rt△DEF中，
    EG=
    1
    2
    FD，
    ∴CG=EG．

    精英家教网（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
    证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
    在△DAG与△DCG中，
    ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
    ∴△DAG≌△DCG（SAS），
    ∴AG=CG；
    在△DMG与△FNG中，
    ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
    ∴△DMG≌△FNG（ASA），
    ∴MG=NG；
    ∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，
    ∴四边形AENM是矩形，
    在矩形AENM中，AM=EN，
    在△AMG与△ENG中，
    ∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
    ∴△AMG≌△ENG（SAS），
    ∴AG=EG，
    ∴EG=CG．
    证法二：延长CG至M，使MG=CG，
    连接MF，ME，EC，
    在△DCG与△FMG中，
    ∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
    ∴△DCG≌△FMG．
    ∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
    ∴MF∥CD∥AB，精英家教网
    ∴EF⊥MF．
    在Rt△MFE与Rt△CBE中，
    ∵MF=CB，∠MFE=∠EBC，EF=BE，
    ∴△MFE≌△CBE
    ∴∠MEF=∠CEB．
    ∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
    ∴△MEC为直角三角形．
    ∵MG=CG，
    ∴EG=
    1
    2
    MC，
    ∴EG=CG．

    精英家教网（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
    过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．
    由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
    又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC
    ∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，
    ∴△MEC是等腰直角三角形，
    ∵G为CM中点，
    ∴EG=CG，EG⊥CG．
    点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知正方形ABCD中，对角线BD长为8，则正方形的面积是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．
    （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
    ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
    ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
    （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•长沙）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
    （1）求证：△BDG∽△DEG；
    （2）若EG•BG=4，求BE的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知正方形ABCD中，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，若CE=1，则AB=
    		2
    +1
    		2
    +1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△ECB．
    （1）图中哪个点是旋转中心？
    （2）按什么方向旋转？旋转角是多少度？
    （3）若∠ECB=30°，求∠FCB的度数．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案