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       如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．

    （1）填空：PD的长为                （用含t的代数式表示）；

    （2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；

    （3）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

    （4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为                             

    【解析】此题考核相似三角形的判定和性质，旋转的性质

     

    【答案】

    （1）∵△AOB是等边三角形，

    ∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．

    ∵PD⊥OB，∴∠PDO=90°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP．∵OP=t，∴OD=t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD= 

    （2）如图（1）过C作CE⊥OA于E，∴∠PEC=90°，

    ∵OD=t，∴BD=4-t．

    ∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，

    ∴∠BPC=60°．∵∠OPD=30°，

    ∴∠BPD+∠CPE=90°．∴∠DBP=∠CPE

    ∴△PCE∽△BPD

    ∴，

    ∴，，

    ∴CE=，PE=，OE=，∴C（，）．

    （3）如图（3）当∠PCA=90度时，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴，∴CF2=PF•AF，

    ∵PF=，AF=4-OF=2- CF=，

    ∴（）2=（）（2-），

    求得t=2，这时P是OA的中点．

    如图（2）当∠CAP=90°时，C的横坐标就是4，

    ∴2+=4∴t=

    （4）设C（x，y），

    ∴x=2+，y=，∴y=x-，

    ∴C点的运动痕迹是一条线段．当t=0时，C1（2，0），当t=4时，C2（5，），∴由两点间的距离公式得：C1C2=2．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限，将△OAB绕点O顺时针旋转30°后，恰好点A落在双曲线y=
    kx
    （x＞0）上，如果等边三角形OAB的A点再次落在双曲线上，那么应继续至少按顺时针旋转
     
    度后．

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    精英家教网如图，边长为4的等边三角形ABC内接于⊙O，直线EF经过边AC，BC的中点，交⊙O于D、G两点．
    （1）求证：△CED≌△CFG；
    （2）设ED=a，EB=b，问：在线段EF上是否存在点M，EM的长m能使
    x=a
    y=b
    是方程组
    2(
    		5
    +1)x-3
    		3
    y=m2+p-8
    (
    		5
    +1)x-
    2
    3
    		3
    y=m-2p
    的解？若存在，求二次函数y=px2-2px+
    p+pm
    m
    的最大值或最小值；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，边长为2的等边△ABC，射线AB上有一点动P（P不与点A、点B重合），以PC为边作等边△PDC，点D与点A在BC同侧，E为AC中点，连接AD、PE、ED．

    （1）试探讨四边形ABCD的形状，并说明理由．
    （2）当点P在线段AB上运动，（不与点A、点B重合），若BP=x，四边形APED的面积是否为定值呢？请说明理由．
    （3）在第（2）问的条件下，若BP=x，△PDE的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并求出△PDE的面积的最小值，及取得最小值时x的取值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1997•南京）已知：如图，边长为2的等边三角形ABC，延长BC到D，使CD=BC，延长CB到E，使BE=CB，求△ADE的周长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•福州质检）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是
    1.5
    1.5
    ．

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