Question

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，
∴点B的坐标是（-2，2）．

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
将A（4，0），B（-2，2）代入，得，
解得：
∴此抛物线的解析式为y=．

（3）存在．
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，
设点P的坐标为（2，y），
①若OB=OP，
则2²+|y|²=4²，解得y=±2．
当y=-2时，在Rt△POD中，∠POD=90°，
sin∠POD=．
∴∠POD=60°．
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P，O，B三点在同一条直线上，
∴y=-2不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为（2，2）．
②若OB=PB，则4²+|y-2|²=4²，解得y=2．
∴点P的坐标是（2，2）．
③若OP=PB，则2²+|y|²=4²+|y-2|²，解得y=2．
∴点P的坐标是（2，2）．
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2）．
分析：（1）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在Rt△BOC中解直角三角形可得出点B的坐标；
（2）设出抛物线解析式，利用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（3）设点P的坐标为（2，y），分三种情况讨论，①OB=OP，②OB=PB，③OP=PB，分别求出y的值，即可得出点P的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形及等腰三角形的性质，难点在第三问，关键是分类讨论，避免漏解．