Question

如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点PQ运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．

Answer 1

分析：（1）可通过构建直角三角形来求解．过B作BG⊥OA于G，过Q作QH⊥OA于H．可根据勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，让QP=AB，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出OF的值，这样就可以求出梯形的面积；
（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值．

解答：解：（1）如图，过B作BG⊥OA于G，
则AB=

BG2+GA2

=

122+(15-10)2

=

169

=13．
过Q作QH⊥OA于H，
则QP=

QH2+PH2

=

122+(10-t-2t)2

=

144+(10-3t)2

．
要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB=QP，
即

144+(10-3t)2

=13．
∴t=

5

3

，或t=5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）；
∴t=

5

3

．

（2）当t=2时，OP=4，CQ=10-2=8，QB=2．
∵CB∥DE∥OF，
∴

QB

AF

=

QE

EF

=

QD

DP

=

QB

OP

=

2

4

=

1

2

．
∴AF=2QB=2×2=4．
∴OF=15+4=19．
∴S_梯形OFBC=

1

2

（10+19）×12=174．

（3）①当QP=PF时，则

122+(10-t-2t)2

=15+2t-2t，
∴t=

1

3

或t=

19

3

．
②当QP=QF时，则

122+(10-t-2t)2

=

122+FH2

=

122+[15+2t-(10-t)]2

，
即

122+(10-3t)2

=

122+(5+3t)2

，
∴t=

5

6

．
③当QF=PF时，则

122+(5+3t)2

=15，
∴t=

4

3

或t=-

14

3

，
综上，当t=

1

3

，t=

19

3

，t=

5

6

，t=

4

3

时，△PQF是等腰三角形．

点评：①本题综合考查了勾股定理的应用，等腰梯形的判定，等腰三角形的判定和平行线分线段成比例等的知识点；
②由于知识点较多，有一定难度；
③要注意的是（3）中要分三种情况进行讨论，不可丢掉任何一种．