Question

【题目】如图，中，，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且．

（1）求的长；

（2）点是射线上的一个动点，连接，，，的面积与的面积相等，

①当点在线段上时，求的长；

②当点在线段的延长线上时，________；

（3）将直线平移，平移后的直线与直线，直线分别交于点和点，以线段为一边作正方形，点与点在直线两侧，连接当时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）．

【解析】

（1）如图1中，连接DF，在Rt△DCF中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．

（2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，证明AB=2AG时，满足条件．

（3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．利用全等三角形以及相似三角形的性质解决问题即可．

解：（1）如图1中，连接DF，

∵将△ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处

∴DF=BF

在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2，

∴（6-CF）2=9+CF2，

∴CF=．

（2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．

在Rt△ACB中，AC=4，BC=6，

∴AB=，

∵DG∥BC，

∴，

∴，

∴x=．

②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，

∵CD=3AD，

∴S△GDC=3S△GAD，

∴当S△ADB=2S△ADG时，S△GDC=S△GBD，

∴AB=2AG，

∴AG=，

∴GB=3.

综上：GB=或；

（3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．

∵四边形MNPQ是正方形，

∴易证△PDN≌△NCM≌△MKA，

∴KQ=CM=DN，KM=CN=PD，

∵△PDN∽△BCD，

∴，

∴，

∴PD=2DN，

∴CN=2DN，

∴DN=1，CN=2，

∴KQ=DN=CM=1，KM=CN=2，

∴BK=9，

∴tan∠QBC=．