Question

【题目】如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90,F是AC边上的一个动点(点F与A. C不重合)，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD.

(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

(2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形。图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断。

(3)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图3,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD2+AF2的值。

Answer 1

【答案】(1) BF=AD，BF⊥AD；(2) BF=AD，BF⊥AD仍然成立,理由见解析;(3).

【解析】分析：(1)可由SAS证得△BCF≌△ACD得到BF＝AD，BF⊥AD；(2)与(1)中的方法相同；(3)证△BCF∽△ACD，得BO⊥AD，再利用勾股定理求解.

详解：(1)BF＝AD，BF⊥AD；

(2)BF＝AD，BF⊥AD仍然成立，

证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90，∴AC＝BC，

∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝CF，∠FCD＝90，

∴∠ACB＋∠ACF＝∠FCD＋∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，

在△BCF和△ACD中

BC＝AC，∠BCF＝∠ACD，CF＝CD，

∴△BCF≌△ACD(SAS)，∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，

又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH＋∠BHC＝90，

∴∠CAD＋∠AHO＝90，∴∠AOH＝90，

∴BF⊥AD；

(3)证明：连接DF，

∵四边形CDEF是矩形，∴∠FCD＝90，

又∵∠ACB＝90，∴∠ACB＝∠FCD

∴∠ACB＋∠ACF＝∠FCD＋∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，

∵AC＝4，BC＝3，CD＝，CF＝1，∴BC:AC＝CF:CD＝3:4，

∴△BCF∽△ACD，∴∠CBF＝∠CAD，

又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH＋∠BHC＝90

∴∠CAD＋∠AHO＝90，∴∠AOH＝90，∴BF⊥AD，

∴∠BOD＝∠AOB＝90，

∴BD2＝OB2＋OD2，AF2＝OA2＋OF2，AB2＝OA2＋OB2，DF2＝OF2＋OD2，

∴BD2＋AF2＝OB2＋OD2＋OA2＋OF2＝AB2＋DF2，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝4，BC＝3，

∴AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25，

∵在Rt△FCD中，∠FCD＝90，CD＝，CF＝1，

∴DF2＝CD2＋CF2＝()2＋12＝，

∴BD2＋AF2＝AB2＋DF2＝25＋.