Question

如图，在平面直角坐标系中，、为轴上两点，、为一上两点，经过点、、的抛物线的一部分与经过点、的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点的坐标为，点是抛物线的顶点．

（1）求、两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当为直角三角形时，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）A（-1，0）、B（3，0） （2）S_△PBC最大值为．（3）m=-1或m=

【解析】

试题分析：(1)解：令y=0,则   ∵m＜0，∴    

解得： ．

∴A（-1，0）、B（3，0）．

（2）存在．                                                            

∴

设P（n, ）

∴ S_{四边形BOCP}= S_△POC + S_{四边形BOCP} -S_△BOC =              

∵a=<0, ∴当n=时,S_△PBC最大值为．

（3）由C₂可知： D（0，-3m）, M(1,-4m) , B(3,0)

BD²=, BM²= , DM²= ,                

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况．

当∠BMD=90°时，BM²+ DM²= BD²，+=

解得：m₁=, m₁=(舍去)

当∠BDM=90°时，BD²+ DM²= BM²，+=

解得：m₁= -1, m₁="1" (舍去)

综上 m=-1或m=时，△BDM为直角三角形

考点：抛物线

点评：本题考查抛物线，会用配方法求最值，会解一元二次方程是解答本题的关键，抛物线是中考的必考内容，此题难度较大