Question

如图，在?ABCD中，AB=2AD，点E 是AD边的中点，点M在AB边上，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）试说明四边形AMDN是平行四边形；
（2）若AB=20，EM=12，DM=13，试猜测四边形AMDN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由在?ABCD中，点E是AD边的中点，即可证得△DNE≌△AME，则可得DN=AM，又由DN∥AM，即可得四边形AMDN是平行四边形；
（2）由AB=20，EM=12，DM=13，AB=2AD，易得DM²=DE²+EM²，则可判定△DEM是直角三角形，即∠DEM=90°，继而可证得四边形AMDN是菱形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
即DN∥AM，
∴∠DNE=∠AME，
∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
∵在△DNE和△AME中，

∠DNE=∠AME ∠DEN=∠AEM DE=AE

，
∴△DNE≌△AME（AAS），
∴DN=AM，
∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）解：四边形AMDN是菱形．
理由：∵AB=20，AB=2AD，
∴AD=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DE=

1

2

AD=5，
∵EM=12，DM=13，
∴DM²=DE²+EM²，
∴△DEM是直角三角形，即∠DEM=90°，
∴AD⊥MN，
∴平行四边形AMDN是菱形．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．