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    如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=10，AD=6，DC=8，BC=12，点E在下底边BC上，点F在AB上．
    （1）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
    （2）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
    （3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，将△BEF的面积记为S1，五边形AFECD的面积记为S2，且S1：S2=K求出k的最大值．

    解：（1）∵EF平分直角梯形ABCD的周长，BE=x，
    x+BF=10-BF+6+8+12-x，
    BF=18-x
    由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72．
    过点F作FG⊥BC于点G，过点A作AK⊥BC于点K，
    则△BFG∽△BAK，
    =，
    =，
    可得FG=）
    S△BEF=

    （2）不存在．
    由（1）=36，
    整理得：（x-9）2=-9，此方程无解．
    不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．

    （3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2．
    k=S1：S2=要使k取最大值，只需S1取最大值．
    与（1）同理，FG=S1=，
    当x=6时，S1取最大值．此时k=
    ∴k的最大值是．
    分析：（1）由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72．用含x的代数式表示△BEF的面积，只需求FG即可；
    （2）根据函数关系式无解，知不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．
    （3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2，则有k=S1：S2=，要使k取最大值，只需S1取最大值，根据S△BEF=，求出S1取最大值．得出k的最大值是．
    点评：本题结合直角梯形的性质考查二次函数的综合应用，注意此题三角形边与面积，梯形周长，高，面积相互间的关系．
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    20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
    3.1
    cm．（结果精确到0.1cm）

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    精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
    （1）求证：△ACD∽△BAC；
    （2）求DC的长；
    （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

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    （1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
    （1）求证：BN=EN；
    （2）求证：4DH•HC=AB•BF；
    （3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

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    （1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
    （3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

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    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
    （1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
    （2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

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