Question

25、在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE=OF．
（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB=AC；

（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB=OC，试说明AB与AC的关系；

（3）当点O在△ABC外部时，且OB=OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无须说明理由）

Answer 1

分析：（1）证△BOE≌△COF，可得∠B=∠C，通过等角对等边，得出AB=AC；
（2）与（1）类似，在证得△BOE≌△COF后，得∠OBE=∠OCF，OB=OC；则∠OBC=∠OCB，可证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出AB=AC．
（3）由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时，AB=AC的结论才成立（等腰三角形三线合一）．

解答：证明：（1）∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）；
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
（2）AB=AC．
证明：同（1）可证得Rt△OBE≌Rt△OCF；
∴∠OBE=OCF；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB；
∴∠ABC=∠ACB；
∴AB=AC．
（3）①当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB=AC成立；
②当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立．（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）

点评：此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判定．