Question

【题目】如图,已知一次函数y= x3与反比例函数y= 的图象相交于点A(4,n)，与x轴相交于点B.

(1)填空：n的值为___，k的值为___；

(2)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；

(3)观察反比例函数y=的图象，当y2时，请直接写出自变量x的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）n=3,k=12；（2）(4+,3)；（3）x6或x>0.

【解析】

（1）把点A（4，n）代入一次函数y=x-3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数y=，得到k的值为12；

（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标；

（3）根据反比例函数的性质即可得到当y≥-2时，自变量x的取值范围．

(1)把点A(4,n)代入一次函数y=x3,可得n=×43=3；

把点A(4,3)代入反比例函数y=,可得3=，

解得k=12.

(2)∵一次函数y=x3与x轴相交于点B，

∴ x3=0，

解得x=2，

∴点B的坐标为(2,0)，

如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，

过点D作DF⊥x轴，垂足为F，

∵A(4,3),B(2,0)，

∴OE=4，AE=3，OB=2，

∴BE=OEOB=42=2，

在Rt△ABE中，

AB=，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD=BC=,AB∥CD，

∴∠ABE=∠DCF，

∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，

∴∠AEB=∠DFC=90°，

在△ABE与△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF(ASA)，

∴CF=BE=2，DF=AE=3，

∴OF=OB+BC+CF=2+ +2=4+，

∴点D的坐标为(4+,3).

(3)当y=2时,2= ，解得x=6.

故当y2时，自变量x的取值范围是x6或x>0.