Question

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2，DC=3，AD=7，动点P在梯形边AB、BC上，当梯形某两个顶点和动点P能构成直角三角形时，点P到AD之距离记为d，则d为______．

Answer 1

①点P在AB上时，△APD是直角三角形，点A是直角顶点，
∵AB=2，
∴d=AP，0＜d≤2；
当点P与点A重合时，△PDC即△ADC是直角三角形，点D是直角顶点．此时d=ap=0，
综上所述，0≤d≤2．
②如图1，点P在BC上时，△APD是直角三角形，
过点P作AD的平行线与AB的延长线相交于点E，与CD相交于点F，
则四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=7，AE=DF=d，
∵∠APD=90°，
∴∠APE+∠DPF=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，
∴∠DPF=∠PAE，
又∵∠E=∠PFD=90°，
∴△APE∽△PDF，
∴

AE

PF

=

PE

DF

，
设PE=x，则PF=7-x，
∴

d

7-x

=

x

d

，
∴d²=-x²+7x，
∵AE∥CD，
∴

EB

CF

=

PE

PF

，
即

d-2

3-d

=

x

7-x

，
∴x=7d-14，
联立

x=7d-14 d2=-x2+7x

，
消掉x得，50d²-245d+294=0，
解得d₁=

14

5

，d₂=

21

10

；
③如图2，点P在BC上时，△CDP是直角三角形，
过点B作BE⊥CD于E，过点P作PF⊥AD于F，
则CE=3-2=1，BE=AD=7，
在Rt△BCE中，BC=

BE2+CE2

=

72+12

=5

2

，
sin∠C=

DP

CD

=

BE

BC

，
即

DP

3

=

7

5 2

，
解得DP=

21 2

10

，
∵∠PDF+∠PDC=90°，∠C+∠PDC=90°，
∴∠PDF=∠C，
∴d=PF=DP•sin∠PDF=

21 2

10

×

7

5 2

=

147

50

；
④点P与点C重合时，点D是直角顶点，△ADC是直角三角形，
∴d=CD=3，
综上所述，d为0＜d≤2，d=

14

5

，d=

21

10

，d=

147

50

，d=3．
故答案为：0≤d≤2，d=

14

5

，d=

21

10

，d=

147

50

，d=3．