Question

如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线y=

1

2

x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设二次函数的解析式为y=ax²，把A点（8，8）代入y=ax²即可求出这个二次函数的解析式，根据直线y=

1

2

x+4与y轴的交点横坐标为0即可求出B点坐标为；
（2）设P点在y=

1

2

x+4上且横坐标为t，得出P点的坐标为（t，

1

2

t+4），根据PD⊥x轴于E，用t表示出D和E的坐标，再根据PD=h，求出h=-

1

8

x²+

1

2

t+4，最后根据P与AB不重合且在AB上，得出t的取值范围；
（3）先过点B作BF⊥PD于F，得出PF=

1

2

t+4-4=

1

2

t，BF=t，再根据勾股定理得出PB和BC的值，再假设△PBO∽△BOC，得出

PB

OB

=

PD

BC

，即可求出t₁和t₂的值，从而求出P点的坐标；

解答：解：（1）设此二次函数的解析式为y=ax²，
∵A点（8，8）在二次函数y=ax²上，
∴8=a×8²，
∴a=

1

8

，
∴y=

1

8

x²，
∵直线y=

1

2

x+4与y轴的交点为B，
∴B点坐标为：（0，4）．

（2）P点在y=

1

2

x+4上且横坐标为t，
∴P（t，

1

2

t+4），
∵PD⊥x轴于E，
∴D（t，

1

8

t²），E（t，0），
∵PD=h，
∴

1

2

t+4-

1

8

x²=h，
∴h=-

1

8

x²+

1

2

t+4，
∵P与AB不重合且在AB上，
∴0＜t＜8．
（3）存在，
（1）当BD⊥PE时，
△PBD∽△BCO，
∵

OB

PD

=

OC

BD

，
∴

4

h

=

8

t

，
∴h=

1

2

t，
∴-

1

8

x²+

1

2

t+4=

1

2

t，
x=4

2

或x=-4

2

（舍去）
∴P点的纵坐标是：

1

2

×4

2

+4=2

2

+4，
∴此时P点的坐标是；（4

2

，2

2

+4）

（2）当DB⊥PC时，
△PBD∽△BCO，
过点B作BF⊥PD，
则F（t，4），
∴PF=

1

2

t+4-4=

1

2

t，
BF=t，
根据勾股定理得：
PB=

t2+( 1 2 t) 2

=

5

2

t，
BC=

OB 2+OC2

=

42+82

=4

5

假设△PBO∽△BOC，
则有

PB

OB

=

PD

BC

，
∴

5 2 t

4

=

1 2 t+4- 1 8  t2

4 5

，
解得：t₁=-8+4

6

，t₂=-8-4

6

（不合题意舍去），
∴

1

2

t+4=

1

2

×（-8+4

6

）+4=2

6

，
∴P（-8+4

6

，2

6

）．

点评：此题考查了二次函数的综合；在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．