[题目]已知:在平面直角坐标系中点.是某函数图象上任意两点．将函数图象中的部分沿直线作轴对称.的部分沿直线作轴对称.与原函数图象中的部分组成了个新函数的图象.称这个新函数为原函数关于点.的“双对称函数．例如:如图①.点.是一次函数图象上的两个点.则函数关于点.的“双对称函数的图象如图②所示．图① 图② (1)点.是函数图象上的两点.关于点.的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知：在平面直角坐标系中点、是某函数图象上任意两点．将函数图象中的部分沿直线作轴对称，的部分沿直线作轴对称，与原函数图象中的部分组成了个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于点、的“双对称函数”．

例如：如图①，点、是一次函数图象上的两个点，则函数关于点、的“双对称函数”的图象如图②所示．

图① 图②

（1）点、是函数图象上的两点，关于点、的“双对称函数”的图象记作．若是中心对称图形，直接写出的值．

（2）点、是二次函数图象上的两点，该二次函数关于点、的“双对称函数”记作．

①求、两点的坐标（用含的代数式表示）．

②当时，求出函数的解析式；

③若时，函数的最小值为，求时，的取值范围．

【答案】（1）；（2）①，；②；③或．

【解析】

（1）根据图像关于原点对称可得，点A、B两点一定关于原点对称，可得t的值；

（2）①直接将P、Q横坐标代入抛物线，可求得点P、Q的纵坐标；

②根据“双对称函数”的定义，函数在点P、Q处翻折，分3段表示函数解析式即可；

③存在3种情况，一种是t≤－1时，一种是－1＜t＜0时，还有一种是t≥0时，分别讨论最小值可求得取值范围．

（1）∵A、B在反比例函数

∴A(t，)，B(t+3，)

因为函数关于原点对称，则A、B两点关于原点对称

∴t+t+3=0

解得：．

（2）①∵

∴∵

∵

∴

∴，．

②当时，点的坐标为，点的坐标为，

原二次函数的解析式为．

当x＜时,函数沿y=翻折

得到:

当时，函数不变，即为：

当时，函数沿y=翻折

得到：

故可求．

③当t＜0时

同理，可求得

其中，t≤－1时，图形如下

则点Q始终是函数在－1≤x≤1的最低点

∵，

∴

解得：≤t≤

∴≤t≤

当－1＜t＜0时，则在x=－1时取得最小值

代入得：y=

∴－2≤≤－1

解得：≤t≤

∴≤t≤

当t≥0时，同理，直接解不等式：

－2≤≤－1

解得：

∴综上得：或．

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