Question

已知，如图，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，割线PO交⊙O于点B、A，且AC=PC．
（1）求证：△PBC≌AOC；
（2）如果PB=2，点M在⊙O的下半圈上运动（不与A、B重合），求当△ABM的面积最大时，AC•AM的值．

Answer 1

（1）证明∵PC切⊙O于C，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCB+∠BCO=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠PCB=∠ACO，
∵AC=PC，
∴∠CPB=∠CAO，
∴△PBC≌△AOC；

（2）设⊙O的半径为r，则：OB=OC=OA=OM=r．
在Rt△PCO中，PO²=PC²+OC²，
∴（PB+OB）²=AC²+OC²，
∴（2+r）²=AC²+r²，
∴AC²=（2+r）²-r²=4+4r，=
在Rt△ABC中，AB²=BC²+AC²，
∴（2r）²=BC²+4+4r，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCB=∠CAP，又∠CPA=∠CAP，
∴∠PCB=∠CPA，
∴PB=BC，
∴（2r）²=PB²+4+4r，
∴r²-r-2=0，∴（r-2）（r+1）=0，
显然，r＞0，∴r=2．
∵AB是定值，∴当△ABM的面积最大时，有：OM⊥AO．此时：AM=OA=2．
又PC²=PB×PA=PB（PB+AB）=2（2+2）=8，∴PC=2，∴AC=2．
∴AC×AM=8．
分析：（1）由切线的性质和全等三角形的判定方法证明△PBC≌△AOC即可；
（2）设⊙O的半径为r，则：OB=OC=OA=OM=r，在在Rt△PCO中和Rt△ABC中，利用勾股定理得到关于r的方程，求出圆的半径，当△ABM的面积最大时AM=OA=2．
由切割线定理即可求出AC•AM的值．
点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质勾股定理的运用以及一元二次方程的运用，题目的综合性强，难度大．