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    （北师大版）已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．
    （1）当α=30°时（如图2），求证：AG=DH；
    （2）当α=60°时（如图3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
    （3）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由．
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    分析：（1）由题意易证出AG=
    1
    2
    AD，DH=
    1
    2
    DB，而AD=DB，可得AG=DH；
    （2）可由证△AMD≌△DNB，再证△AMG≌△DNH，证出AG=DH；
    （3）可证Rt△AGM∽Rt△NHB，Rt△DGM∽Rt△NHD，证出AG=DH．
    解答：解：（1）∵α=30°，
    ∴∠ADM=30°，
    ∵∠A=30°，
    ∴∠ADM=∠A．
    ∴AM=DM．
    又∵MG⊥AD于G，
    ∴AG=
    1
    2
    AD．
    ∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，
    ∴△CDB是等边三角形．
    又∵CH⊥DB于H，
    ∴DH=
    1
    2
    DB．
    ∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
    ∴BC=
    1
    2
    AB．
    ∵BC=BD，
    ∴AD=DB．
    ∴AG=DH．

    （2）结论成立．理由如下：
    在△AMD与△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，
    ∴△AMD≌△DNB，
    ∴AM=DN．
    又∵在△AMG与△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，
    ∴△AMG≌△DNH．
    ∴AG=DH．

    （3）方法一：解：结论成立．
    Rt△AGM∽Rt△NHB，Rt△DGM∽Rt△NHD．
    ∵∠C=∠MDN=90°
    ∴C，D两点在以MN为直径的圆上，
    ∴C，M，D，N四点共圆
    ∴∠DNM=∠DCA=30°，
    ∴DN=
    		3
    DM
    又∵△DGM∽△NHD，
    ∴DH=
    		3
    MG=AG．
    方法二：
    解：当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立．
    在Rt△AMG中，∠A=30°，
    ∴∠AMG=60°=∠B．
    又∠AGM=∠NHB=90°，
    ∴△AGM∽△NHB．
    ∴
    MG
    AG
    =
    HB
    NH
    ①
    ∵∠MDG=α，
    ∴∠DMG=90°-α=∠NDH．
    又∠MGD=∠DHN=90°，
    ∴Rt△MGD∽Rt△DHN．
    ∴
    GD
    MG
    =
    NH
    DH
     ②
    ①×②，得．
    GD
    AG
    =
    HB
    DH

    由比例的性质，得
    AD
    AG
    =
    BD
    DH

    ∵AD=DB，
    ∴AG=DH．
    点评：此题主要考查图形的旋转，直角三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定及性质的灵活运用．此题用同学们常用的一副三角板作为情境，培养同学们灵活运用知识的能力．
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