Question

【题目】如图，在矩形中，点为的中点，交于点，连接，下列结论：

①；

②；

③；

④若，则.

其中正确的结论是______________.(填写所有正确结论的序号)

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据矩形的性质和余角的性质可判断①；延长CB，FE交于点G，根据ASA可证明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，进一步即可求得AF、BC与CF的关系，S△CEF与S△EAF+S△CBE的关系，进而可判断②与③；由，结合已知和锐角三角函数的知识可得，进一步即可根据AAS证明结论④；问题即得解决．

解：∵，，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴，

，所以①正确；

延长CB，FE交于点G，如图，

在△AEF和△BEG中，∵∠FAE=∠GBE=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG，

∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF=BG，EF=EG，∴S△CEG=S△CEF，

∵CE⊥EG，∴CG=CF，∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，所以②错误；

∴S△CEF=S△CEG=S△BEG+S△CBE=S△EAF+S△CBE，所以③正确；

若，则，，，

在和中，∵∠CEF=∠D=90°，，CF=CF，≌，所以④正确．

综上所述，正确的结论是①③④．

故答案为：①③④．