Question

已知：A（8，0），B（0，6），M是AB的中点，点P和点Q分别是x轴和y轴上的两动点，当△PQM为等腰直角三角形时，则P点的坐标是______．

Answer 1

∵A（8，0），B（0，6），M是AB的中点，
∴M的坐标是（4，3），
设P（x，0），Q（0，y），
当∠QMP=90°时（如图1所示），QM=PM，
∵△OPQ、△QPM均为直角三角形，
∴QM²+MP²=OQ²+OP²，即4²+（3-y）²+（x-4）²+3²=x²+y²①，
∵QM=PM，
∴4²+（3-y）²=（x-4）²+3²②，
①②联立得

3y-4x=0 x2-y2-2y=0

，解得x=

24

7

或x=0（舍去），
∴P（

24

7

，0）；
当∠QPM=90°时（如图2所示），QP=PM，
∵△OPQ、△QPM均为直角三角形，
∴MP²=QP²=OQ²+OP²，即x²+y²=（x-4）²+3²①，
MP²+QP²=QM²，即x²+y²+（x-4）²+3²=4²+（3-y）²，②，
①②联立得，

y2+8x-25=0 2x2-8x+6y=0

，解得x=3或x=0（舍去），
∴P（3，0）；
当∠PQM=90°时，如图3所示，QP=QM，
∵△PQM是等腰直角三角形，
∴QM²+QP²=PM²，QM=QP，
即4²+（3-y）²+x²+y²=（4-x）²+3²①，4²+（3-y）²=x²+y²②，
①②联立得，

y2+8x-6y=0 x2+6y-25=0

，整理得，x²+8x-25=0，解得x=-4+

41

或x=-4-

41

，
∴P（-4+

41

，0）或（-4-

41

，0）
综上所述，P（

24

7

，0），（3，0），（-4+

41

，0），（-4-

41

，0）．