Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-

1

2

x²+bx+c经过点A（1，3），B（0，1）．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C，
①求△ABC的面积；
②在y轴上取一点P，使△ABP与△ABC相似，求满足条件的所有P点坐标．

Answer 1

分析：（1）将A（1，3），B（0，1），代入y=-

1

2

x2+bx+c，即可得出答案；
（2）①由对称性得C（4，3），根据三角形面积公式即可求解；
②将直线AC与y轴交点记作D，由

AD

BD

=

BD

CD

=

1

2

，∠CDB为公共角，可得△ABD∽△BCD．从而∠ABD=∠BCD．分1°当∠PAB=∠ABC时，2°当∠PAB=∠BAC时两种情况讨论即可得出答案．

解答：解：（1）将A（1，3），B（0，1），代入y=-

1

2

x2+bx+c，
解得b=

5

2

，c=1．
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+

5

2

x+1．
∴顶点坐标为(

5

2

，

33

8

)．

（2）①由对称性得C（4，3）．
∴S_△ABC=

1

2

|3-1|•|4-1|=3．
②将直线AC与y轴交点记作D，
∵

AD

BD

=

BD

CD

=

1

2

，∠CDB为公共角，
∴△ABD∽△BCD．
∴∠ABD=∠BCD．
1°当∠PAB=∠ABC时，

PB

AC

=

AB

BC

，
∵BC=

(0-4)2+(1-3)2

=2

5

，
AB=

(0-1)2+(1-3)2

=

5

，AC=3
∴PB=

3

2

，
∴P1(0，

5

2

)．
2°当∠PAB=∠BAC时，

PB

BC

=

AB

AC

，
∴

PB

2 5

=

5

3

，
∴PB=

10

3

，
∴P2(0，

13

3

)．
综上所述满足条件的P点有(0，

5

2

)，(0，

13

3

)．

点评：本题考查了二次函数综合题，难度适中，关键是掌握分类讨论的思想解题．