Question

（2012•朝阳区二模）正方形ABCD的边长为4，点P是BC边上的动点，点E在AB边上，且∠EPB=60°，沿PE翻折△EBP得到△EB′P．F是CD边上一点，沿PF翻折△FCP得到△FC′P，使点C′落在射线PB′上．
（1）如图，当BP=1时，四边形EB′FC′的面积为

2

3

；
（2）若BP=m，则四边形EB′FC′的面积为

-

2 3

3

m²+

8 3

3

（0＜m＜2）

2 3

3

m²-

8 3

3

（2＜m≤

4 3

3

）

（要求：用含m的代数式表示，并写出m的取值范围）．

Answer 1

分析：（1）根据BP=1，∠EPB=60°，可得出BE=B'E=

3

，CP=C'P=4-1=3，也可得出C'F，继而根据S_{四边形EB′FC′}=S_△EB'C'+S_△B'C'F可得出答案．
（2）将BP的长度换为m，按照（1）的思路分别求出各线段的长度，然后求面积即可．

解答：解：（1）∵BP=1，∠EPB=60°，
∴BE=B'E=

3

，C'P=CP=BC-BP=3，∠C'PF=∠CPF=30°，
∴C'F=CF=CP×tan∠CPF=

3

，C'B'=C'P-B'P=3-1=2，
故S_{四边形EB′FC′}=S_△EB'C'+S_△B'C'F=

1

2

B'E×B'C'+

1

2

C'F×B'C'=

3

+

3

=2

3

；
（2））①∵BP=m，∠EPB=60°，
∴BE=B'E=

3

m，C'P=CP=BC-BP=4-m，∠C'PF=∠CPF=30°，
∴C'F=CF=CP×tan∠CPF=

3

3

（4-m），C'B'=C'P-B'P=4-m-m=4-2m，
故S_{四边形EB′FC′}=S_△EB'C'+S_△B'C'F=

1

2

B'E×B'C'+

1

2

C'F×B'C'
=

1

2

×

3

m×（4-2m）+

1

2

×

3

3

（4-m）×（4-2m）
=-

3

m²+2

3

m+

3

3

m²-2

3

m+

8 3

3

=-

2 3

3

m²+

8 3

3

（0＜m＜2）．
②当2＜m≤

4 3

3

时，

EB'=EB=

3

m，B'C'=m-（4-m）=2m-4，FC'=

3

3

（4-m），
故S_{四边形EB′FC′}=S_△EB'c'+S_△B'C'F=

1

2

B'E×B'C'+

1

2

C'F×B'C'
=

1

2

×

3

m×（2m-4）+

1

2

×（2m-4）×

3

3

（4-m）
=

3

m²-2

3

m+（m-2）×（

4 3

3

-

3

3

m）
=

3

m²-2

3

m+

4 3

3

m-

3

3

m²-

8 3

3

+

2 3

3

m
=

2 3

3

m²-

8 3

3

（2＜m≤

4 3

3

）．
故答案为：2

3

；-

2 3

3

m²+

8 3

3

（0＜m＜2），

2 3

3

m²-

8 3

3

（2＜m≤

4 3

3

）．

点评：本题考查了正方形的性质及翻折变换的知识，利用解直角三角形的知识求出各线段的长度是解答本题的关键，另外要掌握翻折前后对应边、对应角分别相等．