Question

如图：⊙O为△ABC的外接圆，∠C=60°，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠APC的平分线和AC、BC分别相交于D、E．
（1）证明：△CDE是等边三角形；
（2）证明：PD•DE=PE•AD；
（3）若PC=7，S_△PCE=，求作以PE、DE的长为根的一元二次方程；
（4）试判断E点是否能成为PD的中点？若能，请说明必需满足的条件，同时给出证明；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接OC．∵PC是圆的切线．
∴∠PCO=90°．
∵∧ACB=60°，⊙O是△ABC的外接圆，
∴∠ACO=∠BCO=30°，
∴∠PCB=∠PCO-∠BCO=60°，
∴∠PCB=∠A=∠ACB=60°
∵∠CPD=∠APD
∴△CEP∽△ADP
∴∠CEP=∠ADP
∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE
∵∠C=60°
∴△CDE是等边三角形；

（2）证明：由（1）可知：△CEP∽△ADP
∴PD•CE=PE•AD
∵△CDE是等边三角形
∴CE=DE
∴PD•DE=PE•AD；

（3）解：∵S_△PCE=PE•DE•sin60°=•PE•DE=，
∴PE•DE=15，
∵∠PCB=∠PDC=60°，∠CPD=∠EPC，
∴△CPD∽△EPC，
∴PC²=PE•PD=PE（PE+DE）=PE²+PE•DE=PE²+15=49，
∴PE=，
∴DE=，
PE+DE=，
∴以PE，DE为根的一元二次方程应该是x²-x+15=0，
即：34x²-49x+510=0；

（4）解：当AC是圆的直径时，E是PD的中点．
证明：∵PC是圆的切线，AC是直径
∴∠ACP=∠ABC=90°，∠PCE=∠A
∵∠ACB=∠DEC=60°
∴∠A=30°，∠PCE+∠EPC=60°
∵∠PCE=∠A
∴∠PCE=∠EPC=30°
∴CE=PE
∵△CDE是等边三角形
∴CE=PE=DE
即E是PD的中点．
分析：（1）本题可通过证明△CEP和△APD相似，得出∠CED和∠CDE的补角相等，然后根据∠DCE=60°得出三角形CDE是等边三角形的结论；
（2）本题实际上求的是△PEC和△PDA相似，由于（1）中已经证得，那么可得出的线段的关系是PD•CE=PE•AD，由于三角形CDE是等边三角形，因此将相等的边置换后即可得出本题的结论；
（3）本题要求的实际是PE+DE和PE•DE的值，根据△PCE的面积我们可以用PE•DE•sin60°÷2来表示，那么可得出PE•DE的值，通过△PCE和△PDC相似可得出PC²=PE（PE+DE）=PE²+PE•DE，而PC已知，那么可得出PE的值，也就求出了DE的值，可得出PE+DE的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可得出所求的方程；
（4）若E是PD中点，那么PE=DE=CE，因此∠ECP=∠P=30°，那么∠ACP=90°，由于PC是圆的切线，因此AC应该是圆的直径．所以当AC是圆的直径时，E是PD的中点．
点评：本题主要考查了切线的性质，一元二次方程根与系数的关系以及圆周角定理等知识点，通过得出的等边三角形得出角和边相等是解题的关键．