Question

如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；
（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）。C（6，0）。
（2）OE=2。
（3）存在满足条件的t．理由见解析
（4）当t=时，S取得最大值，最大值为1。

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，令y=0解方程，求出点C的坐标。
（2）如答图1，由△CEF∽△COA，根据比例式列方程求出OE的长度。
（3）如答图2，若△DMN是等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论。
（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3，由S=S_{正方形DEFG}﹣S_梯形MEDN﹣S_△FJK求出S关于t的表达式，然后由二次函数的性质求出其最值。
解：（1）∵抛物线经过点A（0，3），B（2，3），
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为：。
令y=0，即，解得x=6或x=﹣4。
∵点C位于x轴正半轴上，∴C（6，0）。
（2）当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，如答图所示：

设OE=x，则EF=x，CE=OC﹣OE=6﹣x．
∵EF∥OA，∴△CEF∽△COA。
∴，即。
解得x=2．∴OE=2。
（3）存在满足条件的t．理由如下：
如答图，

易证△CEM∽△COA，
∴，即，得。
过点M作MH⊥DN于点H，
则DH=ME=，MH=DE=2。
易证△MNH∽△COA，∴，即，得NH=1。
∴DN=DH+HN=。
在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=。
当△DMN是等腰三角形时：
①若DN=MN，则=，解得t=。
②若DM=MN，则DM²=MN²，即2²+（）²=（）²，解得t=2或t=6（不合题意，舍去）。
③若DM=DN，则DM²=DN²，即2²+（）²=（）²，解得t=1。
综上所述，当t=1、2或时，△DMN是等腰三角形。
（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图，

设EF、DG分别与AC交于点M、N，
由（3）可知：ME=，DN=．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B（2，3）、C（6，0）代入得：
，解得。
∴直线BC的解析式为。
设直线BC与EF交于点K，
∵x_K=t+2，∴。
∴。
设直线BC与GF交于点J，
∵yJ=2，∴2= ，得。
∴FJ=x_F﹣x_J=t+2﹣=t﹣。
∴S=S_{正方形DEFG}﹣S_梯形MEDN﹣S_△FJK=DE²﹣（ME+DN）•DE﹣FK•FJ
=2²﹣ [（2﹣t）+（3﹣t）]×2﹣（t﹣1）（t﹣）．
过点G作GH⊥y轴于点H，交AC于点I，则HI=2，HJ=，
∴t的取值范围是：2＜t＜。
∴S与t的函数关系式为：S（2＜t＜）。
S，
∵＜0，且2＜＜，∴当t=时，S取得最大值，最大值为1。