Question

如图，AB是半圆的直径，O为圆心，PE与圆O相切于D点，连AD，BD．
（1）判断∠PDA与∠PBD是否相等？并说明理由；
（2）如果PD=

3

，∠B=30°，求圆O的半径．

Answer 1

分析：（1）∠PDA与∠PBD相等，理由为：连接OD，由PE为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于PE，得到一对角互余，再由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到一对角互余，根据OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换及利用同角的余角相等即可得证；
（2）根据（1）得到∠PDA=∠B=30°，可得出∠ADO为60°，由OD=OA得到三角形AOD为等边三角形，得到∠P为30°，在直角三角形OPD中，设OD=x，则有OP=2x，再由PD的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆的半径．

解答：解：（1）∠PDA=∠PBD，理由为：
连接OD，
∵PE与圆相切，
∴∠ODP=90°，
∴∠ADO+∠PDA=90°，
∵OB=OD，
∴∠PBD=∠ODB，
∵AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODB+∠ADO=90°，即∠ADO+∠PBD=90°，
∴∠PDA=∠PBD；

（2）∵∠PDA=∠B=30°，
∴∠ADO=60°，又OD=OA，
∴△ADO为等边三角形，
在Rt△OPD中，∠P=30°，
设OD=x，则有OP=2x，由PD=

3

，
根据勾股定理得：（2x）²=x²+（

3

）²，
解得：x=1，
则圆的半径为1．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．