Question

已知直线与抛物线交于点A（1，），与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）把（1）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位（＞0），抛物线与轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，求的值；
（3）如图，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位（＞0），抛物线与轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），C（0，-1）；（2）；（3）最小值为， 

试题分析：（1）把A（1，）分别代入直线与抛物线，即可求得结果；
（2）先根据平移的特征得到平移后的函数关系式，再根据直径所对的圆周角是直角即可得到结果；
（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴．因此过C、P、Q三点的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，那么圆心到C点的距离也要最小，即两点的纵坐标相同，即可得到圆的半径，求出圆心的坐标．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出PQ的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出PE的长，根据勾股定理即可确定平移的距离．
（1）把A（1，）分别代入直线与抛物线，
可得，，
∴抛物线的解析式为，直线的解析式为，
在中，当时，，
∴C的坐标为（0，-1）；
（2）设平移后的抛物线函数关系式为，
由题意得，此时抛物线的图象经过原点（0，0），
则，解得；
（3）设平移后的抛物线函数关系式为，
令，则，
∵过C、P、Q三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点C为定点，
∴要使圆的面积最小，圆的半径应等于点C到直线x=2的距离，此时，半径为2，面积为，
设圆心为O，PQ的中点为E，连接OE，OP．
在三角形CEM中，
，
，解得，  
∴当时，过C、P、Q三点的圆的面积最小，最小面积为.
点评：解答本题的关键是注意平移不改变二次项的系数；抛物线的平移，看顶点的平移即可；左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加；上下平移，只改变顶点的纵坐标，上加下减．