Question

【题目】如图1，已知直线和直线交于轴上一点，且分别交轴于点、点，且.

（1）求的值；

（2）如图1，点是直线上一点，且在轴上方，当时，在线段上取一点，使得，点分别为轴、轴上的动点，连接，将沿翻折至，求的最小值；

（3）如图2，分别为射线上的动点，连接是否存在这样的点，使得为等腰三角形，为直角三角形同时成立.请直接写出满足条件的点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或

【解析】

（1）首先由已知得出点B和C的坐标，即可得出直线AC的解析式，然后得出点A的坐标，代入直线AB，即可得出的值；

（2）首先根据△ACD的面积求出点D坐标，然后由得出点F的坐标和CF，若使有最小值,则M、C′、D在一条直线上，作F和C′关于轴的对称点F′和C′′，根据D和F′的坐标得出DF′，然后即可得解；

（3）若使得为等腰三角形，为直角三角形同时成立，则分情况求解，H在AC上和AC的延长线上，根据平行线成比例和相似三角形的性质，列出方程，即可得出P坐标.

（1）由已知，得

∵，C在轴正半轴，B在轴负半轴

∴

即

∴直线，直线

∴，将其代入直线AB，

∴

（2）∵点是直线上一点，设点D坐标为

∴

即

∴，即D

∵

∴,即C′在以CF为半径的圆上，

若使有最小值,则M、C′、D在一条直线上，作F和C′关于轴的对称点F′和C′′，如图所示，则，

∴

∴

（3）根据题意，分情况求解：

①

若PH⊥OA，则HP=HC，HP∥CN

∴

设H（x，y）可得

,

∴

②

若PH⊥AC，则HP=HC，

∴△APH∽△ACO

∴

设，可得

∴

∴

∴

③

若PH⊥OA，∠H=∠ACO=60°

∴HP=HC=PC

∴

设H（x，y）可得

∴

故满足条件的点P坐标为或或.