Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F
（1）求证：CF=AD；
（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠F=∠DAE．
又∵∠FEC=∠AED，
∴∠ECF=∠ADE，
∵E为CD中点，
∴CE=DE，
在△FEC与△AED中，
∵，
∴△FEC≌△AED．
∴CF=AD；

（2）解：当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上，
其理由是：
∵BC=6，AD=2，AB=8，
∴AB=BC+AD．
又∵CF=AD，BC+CF=BF，
∴AB=BF．
∴△ABF是等腰三角形，
∴点B在AF的垂直平分线上．
分析：（1）通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；
（2）若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF∵AB=8，CF=AD=2，∴BC=BF-CF=8-2=6时有AB=BF．
点评：本题利用了：（1）梯形的性质，（2）全等三角形的判定和性质，（3）中垂线的性质．