Question

如图10-1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， ⊙交轴于 两点，交轴于两点，且为的中点，交轴于点，若点的坐标为（－2，0），

(1)(3分)求点的坐标.                          

(2)(3分)连结，求证：∥

(3)(４分) 如图10-2，过点作⊙的切线，交轴于点.动点在⊙的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律

 

Answer 1

【答案】

 

（1）（０，４）

（2）证明略

（3）

【解析】解（１）方法（一）∵直径ＡＢ⊥ＣＤ

　　　　　　　　∴ＣＯ＝ＣＤ                                　　……1分

＝

　　　　　　　　∵Ｃ为的中点

　　　　　　　　∴＝

　　　　　　　　∴＝

　　　　　　　　∴ＣＤ＝ＡＥ                               　　　　……2分

　　　　　　　　∴ＣＯ＝ＣＤ＝４

　　　　　　　　∴Ｃ点的坐标为（０，４）                    　　　……3分

　　　　　　方法（二）连接ＣＭ，交ＡＥ于点Ｎ

　　　　　　　　∵Ｃ为的中点，Ｍ为圆心

　　　　　　　　∴ＡＮ＝ＡＥ＝４                       ……1分

　　　　　　　　　ＣＭ⊥ＡＥ

　　　　　　　　∴∠ＡＮＭ＝∠ＣＯＭ＝９０°

　　　　　　　　在△ＡＮＭ和△ＣＯＭ中：

∴△ＡＮＭ≌△ＣＯＭ                     ……2分

∴ＣＯ＝ＡＮ＝４

∴Ｃ点的坐标为（０，４）                 ……3分

　　　解（２）设半径ＡＭ＝ＣＭ＝ｒ，则ＯＭ＝ｒ－２

　　　　　　　　由ＯＣ＋ＯＭ＝ＭＣ得：

　　　　　　　　４＋（ｒ－２）＝ｒ

　　　　　　　　解得：ｒ＝５                            ……1分

　　　　　　　　∵∠ＡＯＣ＝∠ＡＮＭ＝９０°

　　　　　　　　　∠ＥＡＭ＝∠ＭＡＥ

　　　　　　　　∴△ＡＯＧ∽△ＡＮＭ

　　　　　　　　∴

               ∵ＭＮ＝ＯＭ＝３

　　　　　　　　即

　　　　　　　　∴ＯＧ＝　　　　　　　　　　　　　　……２分

　　　　　　　　∵

　　　　　　　　　

　　　　　　　　∴

　　　　　　　　∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＣ

　　　　　　　　∴△ＧＯＭ∽△ＣＯＢ

　　　　　　　　∴∠ＧＭＯ＝∠ＣＢＯ

　　　　　　　　∴ＭＧ∥ＢＣ　　　　　　　　　　　　　……3分

　　　　　　　　（说明：直接用平行线分线段成比例定理的逆定理不扣分）

解（３）连结ＤＭ，则ＤＭ⊥ＰＤ，ＤＯ⊥ＰＭ

　　　　　　　　∴△ＭＯＤ∽△ＭＤＰ，△ＭＯＤ∽△ＤＯＰ

　　　　　　　　∴ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ；

　　　　　　　　　ＤＯ＝ＯＭ·ＯＰ（说明：直接使用射影定理不扣分）

　　　　　　　　即４＝３·ＯＰ

　　　　　　　　∴ＯＰ＝　　　　　　　　　　　             ……１分

　　　　　　　　当点Ｆ与点Ａ重合时：

　　　　　　　　当点Ｆ与点Ｂ重合时：　　　……２分

　　　　　　　　当点Ｆ不与点Ａ、Ｂ重合时：连接ＯＦ、ＰＦ、ＭＦ

　　　　　　　　∵ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ

　　　　　　　　∴ＦＭ＝ＭＯ·ＭＰ

　　　　　　　　∴

　　　　　　　　∵∠ＡＭＦ＝∠ＦＭＡ

　　　　　　　　∴△ＭＦＯ∽△ＭＰＦ

　　　　　　　　∴　　　　　　　　

　　　　　　　　∴综上所述，的比值不变，比值为                  ……4分