Question

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M为抛物线的顶点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）是否存在以BM为斜边的Rt△BCM的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若抛物线上有一点P，连接PC交线段BM于Q点，且S_△BPQ=S_△CMQ，请写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标；
（2）根据抛物线解析式求出点C的坐标以及顶点M的坐标，然后根据勾股定理列式求出BC²，BM²，MC²，然后在Rt△BMC中，利用勾股定理列式进行计算即可求出m的值，从而得到抛物线解析式；
（3）根据m的值确定出点C、M的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，然后根据S_△BPQ=S_△CMQ时则S_△BPC=S_△BMC，利用等底同高的三角形的面积相等可知此时MP∥BC，然后根据互相平行的两直线的解析式的k值相等以及点M的坐标求出直线MP的解析式，联立抛物线解析式求解即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）令y=0，则mx²-2mx-3m=0，
即x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，点A（-1，0），B（3，0）；

（2）令x=0，则y=-3m，
∴点C坐标为（0，-3m），
∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点M坐标为（1，-4m），
∴BC²=3²+（3m）²=9+9m²，BM²=（3-1）²+（4m）²=4+16m²，MC²=1²+[（-3m-（-4m）]²=1+m²，
∵Rt△BCM以BM为斜边，
∴BC²+MC²=BM²，
即9+9m²+1+m²=4+16m²，
整理得，m²=1，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（3）在（2）的条件下，点C坐标为（0，-3），M（1，-4），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

b=-3 3k+b=0

，
解得

k=1 b=-3

，
所以直线BC的解析式为y=x-3，
∵S_△BPQ=S_△CMQ，
∴S_△BPQ+S_△BCQ=S_△CMQ+S_△BCQ，
即S_△BPC=S_△BMC，
∴点P到BC的距离等于点M到BC的距离，
∴MP∥BC，
设MP的解析式为y=x+c，
则1+c=-4，
解得c=-5，
所以，直线MP的解析式为y=x-5，
联立

y=x2-2x-3 y=x-5

，
解得

x1=1 y1=-4

（为点M坐标），

x2=2 y2=-3

，
所以，点P的坐标为（2，-3）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，抛物线的顶点坐标的求解，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数解析式，同底等高的三角形的面积相等，平行直线的解析式的k值相等，联立两函数解析式求交点坐标的问题，（3）利用过点M与BC平行的直线联立抛物线解析式求解是解题的关键．