Question

（2013•怀柔区一模）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD₀⊥BC，垂足为点D₀．过点D₀作D₀D₁⊥AB，垂足为点D₁；再过点D₁作D₁D₂⊥AD₀，垂足为点D₂；又过点D₂作D₂D₃⊥AB，垂足为点D₃；…；这样一直作下去，得到一组线段：D₀D₁，D₁D₂，D₂D₃，…，则线段D₁D₂的长为

3

4

，线段D_n-1D_n的长为

(

3

2

)n

（n为正整数）．

Answer 1

分析：由三角形ABC为等边三角形，AD₀⊥BC，利用等边三角形的性质及三线合一得到BD₀=1，∠B=60°，再由D₀D₁⊥AB，得到∠D₁D₀B=30°，利用锐角三角函数定义求出D₁D₀的长，同理求出D₁D₂的长，依此类推得出D_n-1D_n的长．

解答：解：∵△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD₀⊥BC，
∴BD₀=1，∠B=60°，
∵D₀D₁⊥AB，
∴∠D₁D₀B=30°，
∴D₁D₀=BD₀cos∠D₁D₀B=

3

2

，
同理∠D₀D₁D₂=30°，D₁D₂=D₁D₀cos∠D₀D₁D₂=（

3

2

）²=

3

4

，
依此类推，线段D_n-1D_n的长为（

3

2

）ⁿ．
故答案为：

3

4

；（

3

2

）ⁿ

点评：此题考查了等边三角形的性质，锐角三角函数定义，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．