Question

如图，已知直线y=-kx+4k（k＞0）与x轴y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C，过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．
（1）若∠OCM=30°，求P的坐标；
（2）设OM=x，AN=y，求y与x的函数关系式；
（3）若OM=1，求当k为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．

Answer 1

解：（1）过P点作PE⊥y轴，垂足为E，
∵直线ABy=-kx+4k，∴A（4，0），B（0，4k），
∴OA=4，OC=2，
在Rt△OMC中，∠OCM=30°∴OM=OC•tan30°=，
由切线长定理可知PM=OM=，
且∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，∴∠PME=60°，
在Rt△PME中，PE=PM•sin60°=1，EM=PM•cos60°=，
∴OE=OM+ME=+=，即P（1，）；

（2）过M点作MD⊥AN，垂足为D，
∵MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN=x+y，DN=AN-AD=AN-OM=y-x，
在Rt△MDN中，MD²+DN²=MN²，即4²+（y-x）²=（x+y）²，
整理，得y=；

（3）∵OM=x=1，
∴AN=4，
则M（0，1），N（4，4），
设直线MN的解析式y=ax+b，则
，
解得，
∴直线AB：y=x+1，
联立，
解得x=，即为F点的横坐标，
∴S_△AFN=×4×（4-）=，
依题意，得S_△AFN=S_梯形OMNA，即=××4×（1+4），
解得k=，
∴当k=时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．
分析：（1）过P点作PE⊥y轴，垂足为E，由直线AB：y=-kx+4k求A、B两点坐标，得A（4，0），B（0，4k），即直径OA=4，则半径OC=2，在Rt△OMC中，由∠OCM=30°求OM，由切线长定理可知PM=OM，而∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，则∠PME=60°，解直角三角形求PE，EM即可；
（2）过M点作MD⊥AN，垂足为D，则MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN，在Rt△MDN中，由勾股定理求y与x的函数关系式；
（3）由OM=1，利用（2）的函数关系式求AN，再求直线MN的解析式，将直线AB，直线MN的解析式联立求F点的坐标，表示△AFN的面积，由S_△AFM=S_梯形OMNA，列方程求k的值．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是明确一次函数点的坐标的求法和三角形、梯形面积的求法．