Question

（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；
①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；
②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：______．
（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）画图如图，比较简单；（2）结论是BF⊥CE，BF=CE．过E作EH∥BD交CB的延长线于H，容易证明△HCE等腰直角三角形，由此可以得到∠HCE=∠HEC=45°，而根据已知条件可以得到∠FBC=45°，∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°，这样就可以得到BF⊥CE，然后根据已知条件和勾股定理计算证明BF=，CE=BD，从而证明了BF=CE．从证明过程可以看出无论三角形是等腰直角三角形还是普通直角三角形，对题目的结果没有影响．
解答：解：（1）①画图
②结论是：BF⊥CE，BF=CE．

（2）如图，①证明BF=CE
∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°
∴∠CBF=∠ABF=45°
∵DF⊥BF
∴∠F=90°
∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形
∴cos∠FBD=
∴BF=
又∵Rt△ABC≌Rt△EDA
∴BC=AD，BA=DE
设BC=AD=a，BA=DE=b
∴BD=a+b
∴BF=
过E作EH∥BD交CB的延长线于H
∵∠CBA=90°，∠ADE=90°
∴∠CBA=∠ADE
∴CH∥DE
∴四边形BHED为矩形
∴BH=DE=b，HE=BD=a+b
∴CH=a+b
∴△HCE等腰直角三角形
由勾股定理，得CE=
∴BF=CE
②证明BF⊥CE
∵Rt△CHE是等腰直角三角形
∴∠HCE=∠HEC=45°
∵∠FBC=45°
∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°
∴BF⊥CE
∴BF⊥CE，BF=CE
仍然成立．
点评：此题把直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理等知识结合起来，综合利用它们解题，有一定的难度，要求学生综合分析问题的能力比较强．