Question

（2004•湟中县）阅读材料：如图在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P．
求证：S_{四边形ABCD}=AC•BD．
证明：AC⊥BD?
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB=AC•PD+AC•BP
=AC（PD+PB）=AC•B D
解答问题：
（1）上述证明得到的性质可叙述为______；
（2）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积．

Answer 1

【答案】分析：本题的关键是求出AC，BD的长，可过A，D分别作BC的垂线AE，DF，在直角三角形BFD中，可根据两底的差求出BE，CF的长，也就求出了BF，CE的长，要求BD还需知道直角三角形中一个锐角的度数，可通过全等三角形ACB和DBC得出∠DBC=∠ACB=45°，由此可得出BD，AC的长，进而根据题目给出的面积计算方法求出梯形的面积．
解答：解：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半；

（2）∵四边形ABCD为等腰梯形，
∵BD=AC，AB=CD，BC=BC
∴△ABC≌△DBC
∴∠ACB=∠DBC=45°，
在直角三角形BPC中，∠DBC=45°，BP====BC=，
同理可得PD=，BD=BP+PD=5．
又等腰梯形对角线相等，即BD=AC=5cm
∴S_梯形=•BD•AC=25（cm²）
点评：本题主要考查了等腰梯形性质的应用，根据等腰梯形的性质得出∠DBC等于45°是解题的关键．