Question

【题目】已知点A（－2，2），B（8，12）在抛物线y=ax2+bx上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m>4），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求之值（用含m的代数式表示）；

（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝3PM，求t的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3），，，

【解析】分析：(1)、根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；(2)、根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，过A作AN⊥x轴于点N得出点N的坐标，根据方程求出x的值得出答案；(3)、根据点A、B的坐标利用待定系数法，可求出直线AB的解析式，进而可找出点P、Q的坐标，分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况考虑，借助相似三角形的性质可得出点M的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．

详解：解：(1)、点A（－2，2），B（8，12）在抛物线y=ax2+bx上，∴ ∴，∴；

(2)、设直线AF的解析式为y=kx+m， ∵A（－2，2）在AF上，∴2＝－2k+m，k=(m－2)，

∴直线y=kx+m可化为， 则

∴x2－2(m－1)x－4m=0， ∴(x+2)(x－2m)＝0，∴x=－2或x=2m， ∴G的横坐标为2m，

∴OH＝2m，∵OF＝m，∴FH=，过A作AN⊥x轴于点N，则N(－2，0)，

令，∴x=0或x=2， ∴OE=2，NE=4 ∴AE=，∴；

(3)、由题意A（－2，2），B（8，12），直线AB的解析式为：y=x+4，∠BCO＝45°，

直线AB与x轴交点为C（－4，0），设P（t－4，t），则Q（t，0），设M（，）

由QM＝3PM可得，则｜t－｜=3｜－t+4｜，

（ⅰ）当t－=3（-t+4）即=t-3，直线PQ的解析式为tx+4y-t2=0，

∴=，∴M（t-3，），代入 即，

∴t2－11t+15=0，∴，即：，；

（ⅱ）当-t＝3(-t+4)即=t－6，∴，∴，

代入即，∴t2－20t+48=0，

∴， 即：，；

综上所述，所求t为：，，，．