Question

如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线l于B、C两点．
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）当⊙O的半径R=5，BD=12时，求tan∠ACB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知EF是圆的直径，所以∠EAF=90°，即∠ABC+∠ACB=90°；
（2）连接OD，则OD⊥BD，过E作EH⊥BC于H，则四边形EODH是正方形，易求tan∠BEH==，再证明∠ACB=∠BEH即可．
解答：（1）证明：∵EF是圆的直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°；

（2）解：连接OD，则OD⊥BD，
过E作EH⊥BC于H，

∴EH∥BC，
∵EF∥OD，OE=OD，
∴四边形EODH是正方形，
∴EH=HD=OD=5，
又∵BD=12，
∴BH=7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH==，
∵∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BEH，
∴tan∠ACB=．
点评：本题考查了圆周角定理、正方形的判定和性质、切线的性质以及锐角三角函数值，题目的综合性很强，难度中等．