Question

已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交于BC于 D点，在AD上任取一点P，（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PM∥AC，交AB于点M，连结ME。
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半。

Answer 1

（1）见解析（2）P为EF中点时解析:
（1）证明：∵EF∥AB. PM∥AC。
∴AEPM为平行四边形。
∵AB=AC.AD平分∠CAB.
∴∠CAD=∠BAD.AD⊥BC.
又∵∠BAD=∠EPA.
∴∠CAD=∠EPA.∴EA=EP.
∴AEPM为菱形。
（2）解：当P为EF中点时。S_菱形AEPM=S_{四边形EFBM.}
∵四边形AEPM为菱形。
∴AD⊥EM.
又∵AD⊥BC.
∴EM∥BC
又∵EF∥AB.
∴四边形EFBM为平行四边形。
作EN⊥AB于点N。
               ∴S_菱形AEPM=EP×EN=EF×EN=S _EMBF.
（1）先证明AEPM为平行四边形，再证得EA=EP最后得出结论
（2）设P为EF中点，进行求证