[题目]如图.在中...．点在边的延长线上.且．在上方作射线.使．点从点出发.以每秒1个单位长度的速度.沿射线方向运动．过点作.垂足为.过点作.垂足为.交线段或线段于点.当点与点重合时.点停止运动．设点的运动时间为秒．(1)线段的长为．(用含的代数式表示)(2)当点与点重合时.求的值．(3)设的面积为.求与之间的函数关系式．(4)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，在中，，，．点在边的延长线上，且．在上方作射线，使．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿射线方向运动．过点作，垂足为，过点作，垂足为，交线段或线段于点，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．

（1）线段的长为______．（用含的代数式表示）

（2）当点与点重合时，求的值．

（3）设的面积为，求与之间的函数关系式．

（4）当点在的某一条边的中垂线上时，直接写出的值．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或

【解析】

（1）证明△PRD∽△BCA，利用相似三角形的性质即可解决问题．
（2）如图2中，当D与点C重合时，证明△CPR∽△PDR，可得PR2＝CRDR，由此构建方程即可解决问题．
（3）分两种情形①当0＜t≤3时，如图3中，；②当时，如图32中，S＝，综合即可；
（4）分三种情形：①如图41中，当点P在线段AB的垂直平分线上时，设AB的垂直平分线交AB于N，交BC于M．②如图42中，当点P在线段BC的垂直平分线上时，③如图43中，当点P在线段AC的垂直平分线上时，分别构建方程即可解决问题．

（1）解：（1）如图1中，

在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
∵PR⊥CD，
∴∠PRD＝∠C＝90°，
∵∠PDR＝∠A，
∴△PRD∽△BCA，
∴，

∵PD=t，

∴，
∴PR＝，DR＝，
故答案为：；

（2）如图2中，当Q与点C重合时，
∵PQ⊥PD，PR⊥CD，
∴∠QPD＝∠PRQ＝∠PRD＝90°，
∵∠PCR＋∠CPR＝90°，∠CPR＋∠DPR＝90°，
∴∠DPR＝∠PCR，
∴△CPR∽△PDR，
∴
∴PR2＝CRDR，

由（1）可知PR＝，DR＝，

∵BD=1，

∴CD=5，CR=5，
∴（）2＝（5），
解得t＝3．
∴t＝3s时，C，Q重合．

（3）①当时，如图3中，由（2）可知，△QPR∽△PDR，

则，

∵PR＝，DR＝，

∴

．

②如图3-1所示，当点Q与点A重合时，点P停止运动，过点A作AM∥CD∠PD于点M，交PR于点N，则PR⊥AM，四边形ANRC为矩形，∠PMA=∠PDC=∠CAB，

∵AP⊥PD，∠C=90°，

∴∠PAM=∠ABC，

∵PR＝，DR＝，

∴PN=PR-NR=PR-AC=-4，

AN=CR=CD-DR=5-，

∴tan∠PAN=tan∠ABC=，

即，解得：，

∴当时，点P停止运动，

∴当时，如图3-2中，

∵PR＝，DR＝，

∴CR=，

∴．

综上所述：；

（4）①如图41中，当点P在线段AB的垂直平分线上时，设AB的垂直平分线交AB于N，交BC于M．

∵PM⊥平分AB，则BN=

∴，

∴BM＝BN＝，

∵∠MNB=∠C=90°，

则∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BMN=90°，

∴∠BMN=∠A=∠PDC，

∴PM＝PD，
∴DM＝BM＋BD＝，
∵PR⊥DM，
∴DR＝DM＝，
∴，

∴t＝．
②如图42中，当点P在线段BC的垂直平分线上时，

则BR=CR=2，

∴DR＝3，即，解得t＝5．

③如图43中，当点P在线段AC的垂直平分线上时，PR＝CM＝，

即，解得t＝．

综上所述，满足条件的t的值为或或．

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