Question

【题目】如图①，直线CD与以线段OB为直径的半⊙A相切于点C，连接OC、BC，作OD⊥CD，垂足为D，OB＝10，

（1）求证：∠OCD＝∠OBC；

（2）如图②，作CE⊥OB于点E，若CE＝AE，求线段OD的长；

（3）如图③，在（2）的条件下，以O点为原点建立平面直角坐标系求△DOB外接圆的圆心坐标．

以下是优优和乐乐两位同学对第（3）小题的讨论

优优：这题很简单嘛，我只要求出这个三角形任意两条边的中垂线解析式，然后求交点坐标就行了．乐乐：我还有其他的好方法．

如果你是乐乐，你会怎么做？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5﹣；（3）△DOB外接圆的圆心坐标为（5，）

【解析】

（1）连接OC，由题意可得∠OBC＋∠COB＝90°，∠ACO＋∠DCO＝90°，由AC＝OA，可得∠ACO＝∠AOC，即可证∠OCD＝∠OBC；
（2）连接CA，由题意可证△CDO≌△CEO，可得OD＝OE，由OA＝AB＝AC＝5，CE＝AE，CE⊥OB，可得AE＝，即可求OD的长；
（3）设直线CD与x轴交于点N，过点B作BM⊥x轴交直线CD于点M，连接AC，OM，由题意可求∠CAE＝∠ACE＝45°＝∠CNA＝∠CMB，可得AC＝CN，BM＝BN，根据勾股定理可求AN的长，即可求BM的长，可得点M坐标，由∠MDO＝∠MBO＝90°，可证点D，点O，点B，点M四点共圆，即OM是直径，则OM的中点是圆心，也是△DOB外接圆的圆心，根据中点坐标公式可求OM中点坐标．

解：（1）如图：连接OC

∵OB是直径

∴∠OCB＝90°

∴∠OBC+∠COB＝90°

∵CD是⊙A的切线

∴AC⊥CD

∴∠ACO+∠DCO＝90°

∵AC＝OA

∴∠ACO＝∠AOC

∴∠OCD＝∠OBC；

（2）如图：连接CA

∵CE⊥OB

∴∠COB+∠OCE＝90°且∠OBC+∠COB＝90°

∴∠OCE＝∠OBC且∠OCD＝∠OBC

∴∠OCD＝∠OCE且OC＝OC，∠CDO＝∠CEO＝90°

∴△CDO≌△CEO（AAS）

∴OD＝OE

∵OB＝10，

∴OA＝AB＝AC＝5

∵CE＝AE，CE⊥OB

∴AE2+CE2＝AC2．

∴AE＝＝CE

∴OE＝5﹣＝OD

（3）如图：设直线CD与x轴交于点N，过点B作BM⊥x轴交直线CD于点M，连接AC，OM

∵CE＝AE，CE⊥OB

∴∠CAE＝∠ACE＝45°，

又∵AC⊥CD

∴∠CNA＝∠CAE＝45°

∴AC＝CN＝5

∴AN＝＝5

∵BN＝AN+AB

∴BN＝5+5

∵BM⊥AB，∠CNA＝45°

∴∠CNA＝∠CMB＝45°

∴BN＝BM＝5+5，且OB＝10

∴点M的坐标为（10，5+5）

∵∠MDO＝∠MBO＝90°

∴点D，点O，点B，点M四点共圆

∴OM是直径

∴OM的中点是圆心，也是△DOB外接圆的圆心；

∵点O（0，0），点M（10，5+5）

∴△DOB外接圆的圆心坐标为（5，）