Question

【题目】如图，抛物线与轴分别交于，两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在第二象限内取一点，作垂直轴于点，连结，且，．将沿轴向右平移个单位，当点落在抛物线上时，求的值；

（3）在（2）的条件下，当点第一次落在抛物线上时记为点，点是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值为7或9；（3）存在，点的坐标为或或

【解析】

（1）用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）先求出点C的坐标，然后根据平移后C点的纵坐标不变，将纵坐标代入抛物线的表达式中求出C平移后的横坐标，根据平移的规律即可得到m的值；

（3）根据第（2）问的结果可知，E点的坐标为（1，8），然后求出抛物线的对称轴，设出P的坐标，然后分两种情况：当为平行四边形的边时和当为平行四边形的对角线时，分别进行讨论即可．当为平行四边形的边时,先证明，则有，即可求出Q点横坐标与对称轴之间的距离，从而建立方程求出Q的横坐标，代入抛物线表达式中即可求出纵坐标；当为平行四边形的对角线时，利用线段的中点坐标即可求出Q的横坐标，然后代入抛物线表达式中即可求出纵坐标 ．

解：（1）把，代入

得解得

∴抛物线的解表达式是．

（2）∵，且，

∴，且，

∴．

设平移后的点的对应点为，则点的纵坐标为8．

代入抛物线解析式可得，解得或，

∴点的坐标为或．

∵，

∴当点落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位．

∴的值为7或9．

（3）∵，

∴抛物线对称轴为．

∴设．

由（2）可知点坐标为．

①当为平行四边形的边时，连接交对称轴于点，过作轴于点，过作对称轴的垂线，垂足为，如图，

则，

∵四边形是平行四边形,

∴ ,

在和中

∴，

∴，

设，则，

∴，解得或，

当或时，代入抛物线解析式可求得，

∴点坐标为或；

②当为对角线时，

∵，，

∴线段的中点坐标为，则线段的中点坐标为，

设，且，

∴，解得，把代入抛物线解析式可求得，

∴；

综上可知点的坐标为或或．