Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
（1）三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，如图①，四边形PDCE是正方形，则PD=PE．当PD与AC不垂直时，如图②、③，PD=PE还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论．
（2）三角板绕点P旋转，△PEB是否成为等腰三角形？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由．
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，如图④，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图形加以证明．

Answer 1

解：（1）PD=PE依然成立．
证明：连接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，
∴PD=PE．

（2）分三种情况讨论如下：
①当PE=PB，点C与点E重合，即CE=0．
②当PE=BE时，CE=1．
③当BE=PB时
若点E在线段CB上时，CE=，
若点E在CB延长线上时．

（3）过点M作MF⊥AC，MH⊥BC．
∵∠C=90°，
∴四边形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．
∵而HB=MH，
∴
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH，
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，
即．
分析：（1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以连接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．连接CP，就可以证明△CDP≌△BEP，再根据全等三角形的对应边相等，就可以证明DP=PE；
（2）△PBE能成为等腰三角形，位置有四种；
（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系．
点评：此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，勾股定理的计算要求也比较高．