Question

直线l经过A（1，0）且与双曲线y=在第一象限交于点B（2，1），过点P（p+1，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交于双曲线y=和y=（x＜0）于M，N两点，
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）直线y=-x-3与x轴、y轴分别交于点C、D，点E在直线y=-x-3上，且点E在第三象限，使得，平移线段ED得线段HQ（点E与H对应，点D与Q对应），使得H、Q恰好都落在y=的图象上，求H、Q两点坐标．
（3）是否存在实数p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，求所有满足条件的p的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由点B（2，1）在y=上，有1=，即m=2．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由点A（1，0），点B（2，1）在y=kx+b上，
得，
解得，
故所求直线l的解析式为y=x-1；

（2）∵直线y=-x-3与x轴、y轴分别交于点C、D，点E在直线y=-x-3上，且点E在第三象限，使得，
∴D点的横坐标比E点的横坐标大1，D点的纵坐标比E点的纵坐标小1；
∴H点的横坐标比Q点的横坐标大1，H点的纵坐标比Q点的纵坐标小1，
设H点的坐标为（u，v），Q点的坐标（u+1，v-1），则
，
解得，（不合题意舍去），
则H点的坐标为（1，2），Q点的坐标（2，1）；

（3）存在．理由如下：
∵P点坐标为（p+1，p-1），MN∥x轴，
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
∴M（，p-1），N（-，p-1），可得MN=，
∴S_△AMN=••（p-1）=2，
当p＞1时，S_△APM=（p+1-）（p-1）=（p²-3），
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4×（p²-3）=2，
解得p₁=-2（不合题意，舍去），p₂=2．
∴满足条件的p的值为2．
分析：（1）将点B（2，1）代入y=，即可求出m的值，从而得到反比例函数的解析式；将点A（1，0），点B（2，1）分别代入y=kx+b，即可求出l的解析式；
（2）根据题意可得D点的横坐标比E点的横坐标大1，D点的纵坐标比E点的纵坐标小1；根据平移的性质可得H点的横坐标比Q点的横坐标大1，H点的纵坐标比Q点的纵坐标小1，可设H点的坐标为（u，v），表示出Q点的坐标，根据H、Q恰好都落在y=的图象上，可得方程组求解即可；
（3）由于P点坐标为（p+1，p-1），则点M、N的纵坐标都为p-1，得到M（，p-1），N（-，p-1），可得MN=，计算出S_△AMN=••（p-1）=2，当p＞1时，S_△APM=（p+1-）（p-1）=（p²-3），利用S_△AMN=4S_△APM，得到4×（p²-3）=2，然后解方程得到p₁=-（不合题意，舍去），p₂=．
点评：本题考查了反比例函数综合题，学会待定系数法求函数解析式，平移的性质，解方程组以及会计算三角形的面积的知识．注意点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式．