Question

【题目】定义：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；
性质：内心到三角形三边的距离相等.
如图1，点 为 的内心， 于 ， 于E， 于 ，则有 .
问题：如何求 的值呢？
探究：

（1）小明思路：设△ABC的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，利用 可求 .
①图1中， ， ， ， ，请你根据小明的思路求出 的值；
②如图2，△ABC中， ，设 ， ， ， 为 △ABC的内心， 于 ， 于E， 于 .若设 ，请用含 ， ， 的式子表示 ；
（2）小亮思路：“凡角平分处，必有轴对称”. 如图2，易得： ， ， . 请你根据小亮的思路，用含 ， ， 的式子表示 ；
（3）①根据上述所列两式，求证： ；
②应用：已知一个直角三角形的两直角边长分别为 和 ，求该三角形的内心到任意一边的距离 .

Answer 1

【答案】
（1）解：①由 得，
即 ，
，
②
（2）
（3）

①证明：由 得，

，

，

，则

②解：由 ， 得， ，

则 ，或

【解析】此题考查三角形的内切圆与内心，利用内角平分线的性质，结合三角形的面积和差，推导出d的表达式.
【考点精析】关于本题考查的三角形的内切圆与内心，需要了解三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心才能得出正确答案．