Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为y=-

3

4

x+6，则
（1）AO=______；AD=______；OC=______；
（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵A、D是直线y=-

3

4

x+6上的点，
∴A（0，6），D（8，0），
∴AO=6，OD=8；
∵△AOD是直角三角形，
∴AD=

AO2+OD2

=

62+82

=10，
∵△ACE由△ACO反折而成，
∴AE=AO=6，CE⊥AD，
∴DE=QD-AE=10-6=4，
∵∠ADO=∠ADO，∠AOD=∠CED，
∴△AOD∽△CED，
∴

AD

CD

=

OD

ED

，

10

CD

=

8

4

，解得CD=5，
∴OC=OD-CD=8-5=3．

（2）当P在线段BO上时，即0＜t＜3时；
∵∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
∴△POQ的面积为：S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（3-t）×

4

5

t，即S=-

2

5

t²+

6

5

t；
当P在x轴正半轴上时，即t＞3时；
同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
∴S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（t-3）×

4

5

t，
即S=

2

5

t²-

6

5

t；
综上可知：S=

- 2 5 t2+ 6 5 t(0＜t＜3) 2 5 t2- 6 5 t(t＞3)

；

（3）分两种情况：
①0＜t＜3时，显然不存在以AD为边的情况，那么只考虑以AD为对角线的情况；
此时P（t-3，0），取易知AD的中点为：（4，3）；
∵平行四边形中，以AD、PQ为对角线，
∴AD的中点也是PQ的中点；
∴Q（11-t，6）；
∵直线CE：y=

4

3

x-4，代入Q点坐标得：

4

3

（11-t）-4=6，解得t=

7

2

；即BP=CQ=

7

2

，
∴Q（

3

2

×

3

5

+3，

3

2

×

4

5

），即Q（

51

10

，

14

5

）；
②t＞3时，显然不存在以AD为对角线的情况，那么只考虑以AD为边的情况；
此时PF∥DP，即F点纵坐标为6，由①得，此时F（

15

2

，6）；
即DP=AF=

15

2

，BP=BD+DP=11+

15

2

=

37

2

，即t=

37

2

；
此时CQ=BP=

37

2

，同①可求得：Q（

141

10

，

74

5

）．
综上可知：存在符合条件的F点，此时的t值和Q点坐标分别为：t=

3

2

，Q（

51

10

，

14

5

）或t=

37

2

，Q（

141

10

，

74

5

）．
故答案为：10，6，3．