Question

如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴点A、B，⊙O的半径为个单位长度．点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD ，切点分别为C、D，且PC⊥PD.

（1）写出点A、B的坐标：A (         )，B (          )；
（2）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；
（3）求点P的坐标；
（4）如图乙 ，若直线将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1∶3，请直接写出b的值：b=   ．

Answer 1

（1）A（4，0），B（0，4）；（2）正方形；（3）（1，3）或（3，1）；（4）或－

试题分析：（1）分别求得直线与x轴、y轴的交点坐标即可得到结果；
（2）连接OC、OD，根据切线的性质可得∠PCO=∠PDO=90°，再有PC⊥PD可得四边形OCPD为矩形，再结合OC=OD即可证得结论；
（3）根据P在直线y＝－x＋4上，可设P（m，－m＋4），根据勾股定理即可求得结果；
（4）分两种情形，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶3，可知被割得的弦所对的圆心角为90，又直线与坐标轴的夹角为45，即可求得结果．
（1）在中，当x=0时，y=4，当y=0时，x=4
则A（4，0），B（0，4）；
（2）连接OC、OD

∵PC、PD为⊙O的切线
∴∠PCO=∠PDO=90°
∵PC⊥PD
∴四边形OCPD为矩形
∵OC=OD
∴四边形OCPD是正方形；
（3）∵P在直线y＝－x＋4上，
∴设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，
∵∠PFO=90°，
∴OF²＋PF²＝PO²，
∴ m²＋ (－m＋4)²＝（）²，
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）

（4）分两种情形，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶3，可知被割得的弦所对的圆心角为90，又直线与坐标轴的夹角为45，如图可知，分两种情况，所以，b的值为或－．

点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，需要学生熟练掌握一次函数的性质的应用.