Question

如图（1），在正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N．
（1）DM与MN相等吗？试说明理由．
（2）若将上述条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余条件不变，如图（2），则DM与MN相等吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）过N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，要证DM=MN，可证△DAM≌△MFN．
（2）只需作AF=AM，其余证法与1同．

解答：解：（1）过N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，

∵HB∥NF，MN⊥DM，
∴可得∠BMH=∠MDA，
∴△MBH∽△DAM，△MBH∽△MFN
∴

BH

MB

=

AM

DA

=

1

2

=

NF

MF

，
∴2NF=MF，
又∵NF=BF，
∴MB=BF=

1

2

DA，
由以上可得△DAM≌△MFN
即可得DM=MN；

（2）解：结论“DM=MN”仍成立．
证明：
在AD上截取AF'=AM，连接F'M．
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB，
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN，
∵AF′=AM，∠A=90°，
∴∠AF′M=∠AMF′=45°，
∴∠DF′M=135°，
∵BN平分∠CBE，∠CBE=90°，
∴∠NBE=

1

2

∠CBE=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DF′M=∠MBN，
在△DF'M和△MBN中

∠F′DM=∠BMN DF′=BM ∠DF′M=∠MBN

，
∴△DF'M≌△MBN．
∴DM=MN．

点评：本题的解答在于熟练掌握相似三角形的比例关系以及全等三角形的证明，要证两边相等往往要转变为证三角形的全等．