Question

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

Answer 1

：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条件.                              …………（5分）
另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为
，  ，
所以                       .
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.       …………（10分）
设，i=1，2，3，…，n.
由，得，
所以，，即≥11.                …………（15分）
≤，
故≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61.                       …………（20分）

解析