Question

如图，已知抛物线y=2x²-4x+n与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点．
（1）求实数n的取值范围；
（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；
（3）若直线y=

2

x+1分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等？如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此△＞0；
（2）直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度；
（3）要求判定△BDC与△EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有∠CDE=∠EOF=90°，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可．解题时要注意“有可能”这个关键词．

解答：解：（1）令y=0，则有2x²-4x+n=0，依题意有
△=16-8n＞0
∴n＜2．
由于抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，
因此0＜n＜2．

（2）y=2x²-4x+n=2（x-1）²+n-2
∴C（1，n-2）
令y=0，2x²-4x+n=0，
解得x=1+

1

2

4-2n

，x=1-

1

2

4-2n

∴B（1+

1

2

4-2n

，0），A（1-

1

2

4-2n

，0）
∴AB=

4-2n

．

（3）易知E（-

2

2

，0），F（0，1）
∴OE=

2

2

，OF=1
由（2）可得BD=

1

2

4-2n

，CD=2-n
当OE=BD时，

1

2

4-2n

=

2

2

解得n=1
此时OF=DC=1
又∵∠EOF=∠CDB=90°
∴△BDC≌△EOF
∴两三角形有可能全等．

点评：本题是一元二次方程，二次函数与直线形的综合考查题，综合性较强．